Olivier Frecon publie dans le Journal of the American Mathematical Society

Olivier Frécon, enseignant-chercheur à la faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées, publie un article dans la prestigieuse revue "Journal of American Mathematical Society" ayant pour titre "Simple groups of Morley rank 3 are algebraic".

À la fin du 19e siècle, il devient indispensable de formaliser rigoureusement les concepts mathématiques ; devenues très abstraites, mais sans base suffisamment profonde, les mathématiques donnent lieu à des aberrations comme le célèbre paradoxe de Russell.  Faire  reposer les mathématiques sur des fondements  solides est à l’origine du développement de la logique mathématique ; la théorie des modèles est l’une des principales  branches  de cette  discipline, celle qui est la plus proche du reste des mathématiques fondamentales.

La théorie  des modèles  peut  être  définie  comme l’étude  et la classification  des structures  à  partir des énoncés.  Une structure  M est un ensemble non vide M  muni d’un ensemble constitué de fonctions f : M m → M , relations  R ⊆ M n et constantes c ∈ M. Par  exemple, R = (R; +, −, ×, 0, 1, ≤) est une structure ; elle satisfait  des énoncés de la forme :
∀x∀y((x ≤ y ∧ y ≤ x) → x = y)     ou     ∀x∃y(y + y = x) Le résultat ci-dessous marque  la naissance  de la théorie des modèles.

Théorème  de  Löwenheim-Skolem  (1915) –  Considérons une structure  infinie  M. Alors  en tout cardinal infini, il y a une structure  N  satisfaisant exactement les mêmes énoncés que M.

Presque  50 ans plus  tard, un profond  travail  a apporté  une  seconde  naissance  à  la théorie  des modèles. En  effet, la preuve  du  résultat  suivant est à l’origine de nombreuses  notions  fondamentales qui, 30, 40 ou 50 ans  plus  tard, donneront lieu à des applications spectaculaires de la théorie des modèles à d’autres domaines des mathématiques (conjecture de Mordell-Lang,  espaces de Berkovich,  conjecture  de André-Oort. . .).

Théorème  de  catégoricité de Morley (1962) –  Si, à isomorphisme près, la structure  N  du théorème ci-dessus est unique pour un cardinal indénombrable, alors elle est unique pour tout cardinal indénombrable.
Une structure M vérifiant l’hypothèse de ce théorème est dite ℵ1 -catégorique. Etant donné l’importance du théorème de catégoricité, il est  souhaitable de mieux connaître  les structures ℵ1 -catégoriques. Un contexte  particulier où ce problème est susceptible de présenter un enjeu majeur est lorsqu’il est relié à l’algèbre, et il est donc pertinent de se concentrer sur les groupes, autrement dit sur les structures qui sont la base des structures étudiées en algèbre. Mieux encore, concentrons-nous sur les groupes simples qui sont les briques  de base des autres  groupes, et qui sont en outre les plus intéressants et les plus difficiles à comprendre. Dans les années 70, ces objets ont été caractérisés comme ceux pouvant être munis d’une dimension naturelle issue de la théorie des modèles et appelée rang de Morley.

Théorème  (Baldwin, 1973, et  Zilber, 1977) –  Les groupes simples  ℵ1 - catégoriques sont  ceux ayant  un rang de Morley fini.

À ce stade,  Gregory Cherlin  et Boris Zilber ont indépendamment conjecturé que les groupes qui nous intéressent sont des objets  très largement étudiés et très bien compris des algébristes.

Conjecture de  Cherlin-Zilber (1978) –  Un groupe simple  ℵ1 -catégorique est un groupe algébrique défini sur un corps algébriquement clos.

En 40 ans, il y a eu de très nombreux  travaux sur cette  conjecture, avec des avancées majeures  laissant espérer une réponse affirmative  complète pour les groupes possedant des éléments particuliers appelés involutions. Inversement, en l’absence d’une telle hypothèse, on sait dire très peu de chose sur les groupes simples ℵ1 -catégoriques, et le problème général  bute  depuis  40 ans  sur  les groupes  de rang  de Morley  3 !  Au  point  que,  depuis  25 ans,  on en est  venu  à être persuadé de l’existence d’un contre-exemple à la conjecture  de Cherlin-Zilber. En fait,  au d´ebut des années 90, Hrushovski  a introduit des méthodes permettant de construire des structures exotiques,  et il a ainsi fourni des contre- exemples  à  des conjectures  difficiles. Il était  attendu que ces méthodes  permettraient  d’obtenir  un  contre-exemple de rang  de Morley  3 à  la conjecture  de Cherlin-Zilber et  il y a eu diverses  tentatives de construire un  tel  objet. Le théorème suivant apporte une réponse définitive pour  le rang  de Morley 3 et permet  à nouveau  d’espérer que la conjecture  de Cherlin-Zilber soit vraie en toute  généralité.

Théorème  [1] –  La conjecture  de Cherlin-Zilber  est vraie pour les groupes ℵ1 -catégoriques de rang de Morley 3.



[1] Olivier Frécon.  Simple groups of Morley rank 3 are algebraic.   Journal of the American Mathematical Society 31 (3), 2018, 643–659.

Publié par Dominique Autain

Dernière mise à jour le 20 décembre 2018


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